问题详情：
已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．
（1）当点P在线段AB上时，求*：△AQP∽△ABC；
（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．
28．
【回答】
【考点】相似三角形的判定与*质；等腰三角形的*质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．
【分析】（1）由两对角相等（∠APQ=∠C，∠A=∠A），*△AQP∽△ABC；
（2）当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论．
（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．由三角形相似（△AQP∽△ABC）关系计算AP的长；
（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．利用角之间的关系，*点B为线段AP的中点，从而可以求出AP．
【解答】（1）*：∵PQ⊥AQ，
∴∠AQP=90°=∠ABC，
在△APQ与△ABC中，
∵∠AQP=90°=∠ABC，∠A=∠A，
∴△AQP∽△ABC．
（2）解：在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5．
∵∠QPB为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，
（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．
∵∠QPB为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ，
由（1）可知，△AQP∽△ABC，
∴
，即
，解得：PB=
，
∴AP=AB﹣PB=3﹣
=
；
（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．
∵∠QBP为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=BQ．
∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P，
∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，
∴∠AQB=∠A，
∴BQ=AB，
∴AB=BP，点B为线段AP中点，
∴AP=2AB=2×3=6．
综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为
或6．
知识点：相似三角形
题型：解答题